Chương 1 Giới hạn và liên tục 1.1 Giới hạn của hàm một biến số 1.1.1 Hàm số Định nghĩa 1 (Hàm hợp). ( g ◦ f )( x ) = g ( f ( x )) Ví dụ 1. Cho f ( x ) = x − 3; g ( x ) = x 2 . Tìm g ◦ f , f ◦ g | Lời giải. Ta có g ◦ f = g ( f ( x )) = g ( x − 3 ) = ( x − 3 ) 2 và f ◦ g = f ( g ( x )) = x 2 − 3 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) = √ x , g ( x ) = √ x − 2 . Tìm các hàm số f ◦ g , g ◦ f , g ◦ g , f ◦ f và tập xác định của các hàm số đó. | Lời giải. Ta có D f = [ 0; + ∞ ) , D g = [ 2; + ∞ ) f ◦ g = f ( g ( x )) = f ( √ x − 2 ) = √ √ x − 2 D f ◦ g = [ 2; + ∞ ) g ◦ f = g ( f ( x )) = g ( √ x ) = √ √ x − 2 D g ◦ f = [ 4; + ∞ ) g ◦ g = g ( g ( x )) = g ( √ x − 2 ) = √ √ x − 2 − 2 D g ◦ g = [ 6; + ∞ ) f ◦ f = f ( f ( x )) = f ( √ x ) = √ √ x D f ◦ f = [ 0; + ∞ ) 1.1.2 Giới hạn hàm số Định nghĩa 2. ∀ ε > 0 cho trước, ∃ δ > 0 sao cho 0 < | x − x 0 | < δ thì | f ( x ) − L | < ε Nếu có hai dãy ( x n ) , ( x ′ n ) n → + ∞ − − − − → x 0 mà lim f ( x n ) ̸ = lim f ( x ′ n ) thì hàm không có giới hạn. Ví dụ 3. Chứng minh không tồn tại giới hạn lim x → 0 sin 1 x | Lời giải. Xét hai dãy x n = 1 2 π n + π 2 ; y n = 1 2 π n − π 2 . Rõ ràng, khi n → + ∞ thì cả hai dãy đều hội tụ về 0. Ta có sin 1 x n = sin ( 2 π n + π 2 ) = 1 và sin 1 y n = sin ( 2 π n − π 2 ) = − 1 Hai dãy giá trị của hàm số hội tụ về hai giá trị khác nhau khi x → 0 . Do đó, giới hạn lim x → 0 sin 1 x không tồn tại. Định lí 1. lim x → x 0 f ( x ) = a ⇐⇒ lim x → x − 0 f ( x ) = lim x → x + 0 f ( x ) = a Ví dụ 4. Chứng minh không tồn tại lim x → 0 sin x | x | 1 | Lời giải. Ta có sin x | x | = sin x x · x | x | Khi đó lim x → 0 + x | x | = 1 và lim x → 0 − x | x | = − 1 . Như vậy, không tồn tại lim x → 0 sin x | x | Ví dụ 5. Cho f ( x ) = 2 x + 3 , x ≥ 0 x sin 1 x , x < 0 . Tìm lim x → 0 f ( x ) | Lời giải. lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + ( 2 x + 3 ) = 3; lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 − ( x sin 1 x ) = 0 Do đó lim x → 0 + f ( x ) ̸ = lim x → 0 − f ( x ) = ⇒ không tồn tại lim x → 0 f ( x ) Định nghĩa 3. Hàm số y = f ( x ) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → x 0 nếu lim x → x 0 f ( x ) = 0 Tính chất của VCB Các vô cùng bé thường gặp khi x → 0 1) sin x ∼ x 2) tan x ∼ x 3) 1 − cos x ∼ x 2 2 4) e x − 1 ∼ x 5) ln ( 1 + x ) ∼ x 6) arcsin x ∼ x 7) arctan x ∼ x 8) ( 1 + x ) α − 1 ∼ α x Quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao lim x → x 0 Tổng hữu hạn các VCB Tổng hữu hạn các VCB = lim x → x 0 VCB bậc thấp nhất của tử VCB bậc thấp nhất của mẫu Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau: 1) lim x → 0 ln ( 1 + x tan x ) x 2 + sin 3 x 2) lim x → 0 ln ( cos x ) ln ( 1 + x 2 ) 3) lim x → 0 e x 2 − cos x sin 2 x 4) lim x → 0 e sin 5 x − e sin x ln ( 1 + 2 x ) 5) lim x → 1 sin ( e x − 1 − 1 ) ln x 6) lim x → 0 ( e x − 1 )( cos x − 1 ) sin 3 x + 2 x 4 | Lời giải. 1) 1 2) − 1 2 3) 3 2 4) 2 5) 1 6) − 1 2 1.2 Hàm số liên tục Định nghĩa 4. Cho f ( x ) là một hàm số xác định trong khoảng ( a ; b ) ; nói rằng f ( x ) liên tục tại điểm x 0 ∈ ( a ; b ) nếu lim x → x 0 = f ( x 0 ) Có thể dùng tính liên tục của hàm số để chứng minh một số giới hạn lim α → 0 log a ( 1 + α ) α = log a e ; lim α → 0 a α − 1 α = ln a ; lim α → 0 ( 1 + α ) μ − 1 α = μ 2 1.3 Bài tập cuối chương 1.3.1 Tự luận Câu 1. Tính lim n → + ∞ ( 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . . . + 1 n ( n + 1 ) ) | Lời giải. 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . . . + 1 n ( n + 1 ) = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 + . . . + 1 n − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 = ⇒ lim n → + ∞ ( 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + . . . + 1 n ( n + 1 ) ) = lim n → + ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1 Câu 2. Tìm các giới hạn a) lim x → 2 ( x 2 − x − 2 ) 20 ( x 3 − 12 x + 16 ) 10 b) lim x → 1 x + x 2 + . . . + x n − n x − 1 c) lim x → 1 x 100 − 2 x + 1 x 60 − 2 x + 1 d) lim x → a ( x n − a n ) − na n − 1 ( x − a ) ( x − a ) 2 | Lời giải. a) lim x → 2 ( x 2 − x − 2 ) 20 ( x 3 − 12 x + 16 ) 10 = lim x → 2 [( x + 1 )( x − 2 )] 20 [( x − 2 ) 2 ( x + 4 )] 10 = lim x → 2 ( x + 1 ) 20 ( x + 4 ) 10 = 3 20 6 10 = ( 3 2 ) 10 b) Ta có: x n − 1 = ( x − 1 )( 1 + x + . . . + x n − 1 ) lim x → 1 x + x 2 + . . . + x n − n x − 1 = lim x → 1 ( x − 1 ) + ( x 2 − 1 ) + . . . + ( x n − 1 ) x − 1 = lim x → 1 ∑ n k = 1 ( x k − 1 ) x − 1 = lim x → 1 n ∑ k = 1 ( 1 + x + . . . + x k − 1 ) = n ∑ k = 1 k = 1 + 2 + . . . + n = n ( n + 1 ) 2 c) lim x → 1 x 100 − 2 x + 1 x 60 − 2 x + 1 = lim x → 1 ( x 100 − 1 ) − 2 ( x − 1 ) ( x 60 − 1 ) − 2 ( x − 1 ) = lim x → 1 ( x − 1 )( 1 + x + . . . + x 99 − 2 ) ( x − 1 )( 1 + x + . . . + x 59 − 2 ) = lim x → 1 1 + x + . . . x 99 − 2 1 + x + . . . + x 59 − 2 = 100 − 2 60 − 2 = 49 29 d) lim x → a ( x n − a n ) − na n − 1 ( x − a ) ( x − a ) 2 = lim x → a ( x n − 1 + ax n − 2 + ... + xa n − 2 + x n − 1 ) − na n − 1 x − a = lim x → a ( x n − 1 − a n − 1 ) + a ( x n − 2 − a n − 2 ) + . . . + a n − 2 ( x − a ) x − a = lim x → a [( n − 1 ) a n − 2 + ( n − 2 ) a n − 2 + . . . + 2 a n − 2 + a n − 2 ] = lim x → a n ( n − 1 ) 2 a n − 2 Câu 3. Tìm các giới hạn a) lim x → + ∞ √ x + √ x + √ x √ x + 1 b) lim x → + ∞ √ x + 3 √ x + 4 √ x √ 2 x + 1 | Lời giải. a) lim x → + ∞ √ x + √ x + √ x √ x + 1 = 1 b) lim x → + ∞ √ x + 3 √ x + 4 √ x √ 2 x + 1 = √ 2 2 Câu 4. Tìm các giới hạn 3 a) lim x → 0 m √ 1 + α x − n √ 1 + β x x b) lim x → 0 m √ 1 + α x n √ 1 + β x − 1 x | Lời giải. Ta có m √ 1 + α x = ( 1 + α x ) 1 m ≈ 1 m · α x + 1 . Tương tự, ta có n √ 1 + β x ≈ 1 n · β x + 1 a) lim x → 0 m √ 1 + α x − n √ 1 + β x x = lim x → 0 α x m − β x n x = α m − β n b) lim x → 0 m √ 1 + α x n √ 1 + β x − 1 x = α m + β n Câu 5. Tìm các giới hạn a) lim x → a sin x − sin a x − a b) lim x → 0 √ 1 + tan x − √ 1 + sin x x 3 c) lim x → 0 1 − cos x cos 2 x cos 3 x 1 − cos x d) lim x → 0 √ cos x − 3 √ cos x sin 2 x | Lời giải. a) lim x → a sin x − sin a x − a = cos a b) lim x → 0 √ 1 + tan x − √ 1 + sin x x 3 L = lim x → 0 ( √ 1 + tan x − √ 1 + sin x )( √ 1 + tan x + √ 1 + sin x ) x 3 ( √ 1 + tan x + √ 1 + sin x ) = lim x → 0 ( 1 + tan x ) − ( 1 + sin x ) x 3 ( √ 1 + tan x + √ 1 + sin x ) = lim x → 0 tan x − sin x x 3 ( √ 1 + tan x + √ 1 + sin x ) Trước hết, tính giới hạn của phần mẫu số không chứa x 3 : lim x → 0 ( √ 1 + tan x + √ 1 + sin x ) = √ 1 + 0 + √ 1 + 0 = 1 + 1 = 2 Do đó, bây giờ ta cần tính: L = 1 2 lim x → 0 tan x − sin x x 3 Ta có tan x − sin x = sin x cos x − sin x = sin x ( 1 cos x − 1 ) = sin x ( 1 − cos x cos x ) Khi đó L = 1 2 lim x → 0 sin x ( 1 − cos x ) x 3 cos x = 1 2 lim x → 0 ( sin x x · 1 − cos x x 2 · 1 cos x ) = 1 4 c) Ta có 1 − abc = ( 1 − a ) + a ( 1 − b ) + ab ( 1 − c ) . Áp dụng ta được lim x → 0 1 − cos x cos 2 x cos 3 x 1 − cos x = lim x → 0 ( 1 − cos x ) + cos x ( 1 − cos 2 x ) + cos x cos 2 x ( 1 − cos 3 x ) 1 − cos x = lim x → 0 ( 1 + cos x ( 1 − cos 2 x ) 1 − cos x + cos x cos 2 x ( 1 − cos 3 x ) 1 − cos x ) = lim x → 0 ( 1 + cos x · ( 2 x ) 2 2 x 2 2 + cos x cos 2 x · ( 3 x ) 2 2 x 2 2 ) = 1 + 4 + 9 = 14 d) Ta có √ cos x − 3 √ cos x ≈ √ 1 − x 2 2 − 3 √ 1 − x 2 2 ≈ ( 1 − x 2 2 ) 1 2 − ( 1 − x 2 2 ) 1 3 ≈ − 1 2 x 2 2 + 1 − ( − 1 3 x 2 2 + 1 ) ≈ − x 2 4 + x 2 6 ≈ − 1 12 x 2 Do vậy, lim x → 0 √ cos x − 3 √ cos x sin 2 x = lim x → 0 − 1 12 x 2 x 2 = − 1 12 Câu 6. Tính các giới hạn 4 a) lim x → 4 √ x − 2 x 2 − 5 x + 4 b) lim x → + ∞ ( 3 √ x 3 + x 2 − 1 − x ) | Lời giải. a) lim x → 4 √ x − 2 x 2 − 5 x + 4 = lim x → 4 ( √ x − 2 )( √ x + 2 ) ( x − 1 )( x − 4 )( √ x + 2 ) = lim x → 4 x − 4 ( x − 1 )( x − 4 )( √ x + 2 ) = lim x → 4 1 ( x − 1 )( √ x + 2 ) = 1 12 b) 3 √ x 3 + x 2 − 1 − x = x 3 + x 2 − 1 − x 3 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) 2 + 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) x 3 + 3 √ x 6 = x 2 − 1 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) 2 + 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) x 3 + x 2 Do đó ta cần tính lim x → ∞ x 2 − 1 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) 2 + 3 √ ( x 3 + x 2 − 1 ) x 3 + x 2 = 1 3 Câu 7. Tìm các giới hạn a) lim x → + ∞ ( 3 x 2 − x + 1 2 x 2 + x + 1 ) x 3 1 − x b) lim x → + ∞ ( x 2 − x x 2 + 1 ) x 3 1 − x c) lim x → 0 x √ 1 − 2 x d) lim x → 0 x √ cos √ x e) lim x → π 2 ( sin x ) tan x f) lim x → + ∞ [ sin ln ( x + 1 ) − sin ln x ] g) lim x → 0 e α x − e β x sin α x − sin β x h) lim n → ∞ n 2 ( n √ x − n + 1 √ x ) với x > 0 | Lời giải. Câu 8. Tìm các giới hạn sau a) lim x → 2 x 2 − 4 x 2 − x − 2 b) lim x → 0 5 √ 32 + x − 2 x c) lim x → 0 cos 3 x − cos 7 x x 2 d) lim x → π 4 cot 2 x · cot ( π 4 − x ) e) lim x → 0 ( 1 − tan 2 x ) 1 sin2 2 x f) lim x → 0 ( cos x ) 1 x 2 g) lim x → + ∞ ( 3 x + x 3 x + x 3 ) 3 x 2 h) lim x → ∞ ( 2 x 2 + 3 2 x 2 − 1 ) x 2 i) lim x → 2 2 x − x 2 x − 2 j) lim x → ∞ ( e 1 x + 1 x ) x | Lời giải. a) lim x → 2 x 2 − 4 x 2 − x − 2 = lim x → 2 ( x − 2 )( x + 2 ) ( x + 1 )( x − 2 ) = lim x → 2 x + 2 x + 1 = 4 3 Câu 9. Tính các giới hạn sau a) lim x →− ∞ √ x 2 + 14 + x √ x 2 − 2 + x b) lim x → 0 + x ln x c) lim x → + ∞ x sin x x 2 + 1 d) lim x → 0 sin 2 x + 2 arctan 3 x + 3 x 2 ln ( 1 + 3 x + sin 2 x ) + xe x Câu 10. Xét sự liên tục của các hàm số a) f ( x ) = | x | b) f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 , x ̸ = 2 A , x = 2 5 c) f ( x ) = x sin 1 x nếu x ̸ = 0 và f ( 0 ) = 0 d) f ( x ) = e − 1 x 2 nếu x ̸ = 0 và f ( 0 ) = 0 e) f ( x ) = 2 x nếu 0 ≤ x ≤ 1 và f ( x ) = 2 − x nếu 1 ≤ x ≤ 2 f) f ( x ) = sin π x khi x hữu tỉ, f ( x ) = 0 khi x vô tỉ. Câu 11. Cho f ( x ) = { e x nếu x < 0 a + x nếu x ≥ 0 . Hãy chọn số a sao cho f ( x ) liên tục. | Lời giải. TXĐ: D = R Ta có lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 − e x = e 0 = 1 và lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + ( a + x ) = a Để f ( x ) liên tục thì lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 − f ( x ) = f ( 0 ) ⇐⇒ a = 1 Câu 12. Xét xem trong 3 hàm số f = √ x , g = x 2 , h = cos x 2 , hàm nào liên tục đều trên R + 1.3.2 Trắc nghiệm Câu 1 (1). Cho lim x → 0 e 2 x − 1 ln ( 1 − 3 x ) = a b với a < b và a b là phân số tối giản. Giá trị a + b là: A 5. B − 5 C 1. D − 1 | Lời giải. lim x → 0 e 2 x − 1 ln ( 1 − 3 x ) = lim x → 0 2 x − 3 x = − 2 3 = ⇒ a = − 2 , b = 3 = ⇒ a + b = 1 Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 2 (1). Cho lim x → 0 ln ( 1 + 4 sin x ) 3 x − 1 = a ln b , với a , b ∈ N ∗ . Tính giá trị của a + b A 4. B 5. C 6. D 7. | Lời giải. lim x → 0 ln ( 1 + 4 sin x ) 3 x − 1 = lim x → 0 4 sin x e x ln 3 − 1 = lim x → 0 4 x x ln 3 = 4 ln 3 = ⇒ a + b = 4 + 3 = 7 Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ Câu 3 (1). Tìm tất cả số thực a để f ( x ) = 1 − cos ax x 2 , x ̸ = 0 2 , x = 0 liên tục tại x = 0 A a = 2 B a = ± 2 C a = 4 D a = 1 | Lời giải. Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . □ 6